Diseño y aplicaciones del circuito de filtro Butterworth de paso bajo

 

Introducción

Hay tres consideraciones al diseñar un circuito de filtro:

• La respuesta de la banda de paso debe ser la máxima planeidad.
• Hay debe ser una transición lenta de la banda de paso a la banda de detención.
• La capacidad del filtro para pasar señales sin distorsiones dentro de la banda de paso.

Estas distorsiones generalmente son causadas por los cambios de fase de las formas de onda. Además de estos tres, los parámetros de tiempo ascendente y descendente también juegan un papel importante. Al tomar estas consideraciones para cada consideración, se diseña un tipo de filtro. Para una respuesta plana máxima, el filtro Butterworth está diseñado. Para una transición lenta de la banda de paso a la banda de detención, el filtro Chebyshev está diseñado y para un máximo retardo de tiempo plano, el filtro Bessel está diseñado.

Filtro Butterworth

A expensas de la pendiente en el medio de transición banda de paso para detener la banda Este filtro de Butterworth proporcionará una respuesta plana en la señal de salida. Por lo tanto, también se lo conoce como un filtro de magnitud máximamente plana. La tasa de respuesta de caída del filtro está determinada por la cantidad de polos tomados en el circuito. El número de polos dependerá del número de elementos reactivos en el circuito que sea el número de inductores o condensadores utilizados en los circuitos.

La respuesta de amplitud del filtro de Butterworth enésimo orden se da de la siguiente manera

Vout/Vin = 1/√ {1 + (f/fc) 2n

Donde ‘n’ es el número de polos en el circuito. A medida que el valor de la ‘n’ aumenta la planitud de la respuesta del filtro también aumenta.

f ’ = frecuencia de funcionamiento del circuito y fc  = frecuencia central o frecuencia de corte del circuito.

Estos filtros tienen consideraciones predeterminadas cuyas aplicaciones se encuentran principalmente en circuitos RC activos a frecuencias más altas. Aunque no proporciona una respuesta de corte nítida, a menudo se considera como el filtro integral que se utiliza en muchas aplicaciones.

Aproximaciones de Butterworth

Como sabemos que para cumplir con las consideraciones de las respuestas de filtro y tener aproximaciones cercanas al filtro ideal, necesitamos filtros de orden superior. Esto aumentará la complejidad. También conocemos la respuesta de frecuencia de salida y la respuesta de fase de los circuitos de paso bajo y paso alto. Las características ideales del filtro son la máxima planeidad, la ganancia máxima de banda de paso y la atenuación máxima de la banda de parada.

Para diseñar un filtro, se requiere la función de transferencia adecuada. Para satisfacer esta función de transferencia, las derivaciones matemáticas se realizan en un diseño de filtro analógico con muchas funciones de aproximación. En dichos diseños, el filtro Butterworth es uno de los tipos de filtro. Las consideraciones de diseño de paso bajo de Butterworth se usan principalmente para muchas funciones. Más adelante discutiremos sobre los polinomios de filtro Butterworth de paso bajo normalizados.

Filtro Butterworth de paso bajo de primer orden

El siguiente circuito muestra el filtro Butterworth de paso bajo

La ganancia de banda de paso requerida del filtro Butterworth dependerá principalmente de los valores de resistencia de ‘R1’ y ‘Rf ‘y la frecuencia de corte del filtro dependerá de los elementos R y C en el circuito anterior.

La ganancia del filtro se da como A_max = 1 + R1/Rf

La impedancia del condensador ‘C’ está dada por-jXC y la tensión en el condensador se da como,

Vc =-jXC/(R-jXC) * Vin.

Donde XC = 1/(2πfc), Reactancia capacitiva.

la función de transferencia del filtro en forma polar se da como

H (jω) = | Vout/Vin | ∟ø

Donde ganancia del filtro Vout/Vin = Amax/√ {1 + (f/fH) ²

Y ángulo de fase Ø =-tan-1 (f/fH)

A frecuencias más bajas significa que cuando la frecuencia de operación es menor que la frecuencia de corte, la ganancia de la banda de paso es igual a la ganancia máxima.

Vout/Vin = Amax, es decir, constante.

A frecuencias más altas significa que cuando la frecuencia de operación es más alta que la frecuencia de corte, entonces la ganancia es menor que la ganancia máxima.

Vout/Vin & lt; Amax

Cuando la frecuencia de funcionamiento es igual a la frecuencia de corte, la función de transferencia es igual a Amax/√2. La tasa de disminución en la ganancia es de 20dB/década o 6dB/octava y puede representarse en la pendiente de respuesta como-20dB/década.

Second Order Low Pass Butterworth Filter

An la red RC adicional conectada al filtro de Butterworth de primer orden nos proporciona un filtro de paso bajo de segundo orden. Este filtro de paso bajo de segundo orden tiene la ventaja de que la ganancia disminuye muy rápidamente después de la frecuencia de corte, en la banda de parada.

 

En este filtro de segundo orden, el valor de la frecuencia de corte depende de los valores de resistencia y capacitor de dos secciones de RC. La frecuencia de corte se calcula utilizando la fórmula siguiente.

fc = 1/(2π√R2C2)

La ganancia aumenta a una tasa de 40dB/década y esta respuesta se muestra en pendiente-40dB/década. La función de transferencia del filtro se puede dar como

Vout/Vin = Amax/√ {1 + (f/fc) 4

La forma estándar de la función de transferencia del filtro de segundo orden se da como

Vout/Vin = Amax/s2 + 2εωns + ωn2

Donde ωn = frecuencia natural de oscilaciones = 1/R2C2

ε = Factor de amortiguación = (3-Amax)/2

Para el filtro Butterworth de segundo orden, el término medio requerido es sqrt (2) = 1.414, del Butterworth normalizado el polinomio es

3-Amax = √2 = 1.414

Para tener una respuesta de filtro de salida asegurada, es necesario que la ganancia Amax sea de 1.586.

Los filtros de Butterworth de orden superior se obtienen en cascada primero y segundo ordenar filtros Butterworth. Esto se puede mostrar de la siguiente manera

Donde an y bn son coeficientes de filtro predeterminados y se utilizan para generar las funciones de transferencia requeridas.

Respuesta de frecuencia ideal del filtro de Butterworth

La planitud de la respuesta de salida aumenta a medida que aumenta el orden del filtro. La ganancia y la respuesta normalizada del filtro de Butterworth para diferentes pedidos se dan a continuación

Polinomios de filtro Butterworth de paso bajo normalizados

La normalización es un proceso en el que el voltaje, la corriente o la impedancia se divide por la cantidad de la misma unidad de medida. Este proceso se utiliza para crear un rango adimensional o un nivel de valor particular.

El denominador polinomial de la función de transferencia del filtro nos proporciona el polinomio de Butterworth. Si consideramos el plano s en un círculo con el mismo radio cuyo centro está en el origen, entonces todos los polos del filtro Butterworth se encuentran en la mitad izquierda de ese plano s.

Para cualquier filtro de orden el coeficiente de la potencia más alta de ‘s’ debe ser siempre 1 y para cualquier filtro de orden el término constante es siempre 1. Para filtros de orden par, todos los factores polinomiales son de naturaleza cuadrática. Para los filtros de orden impar, todos los polinomios son cuadráticos, excepto en primer orden, para el filtro de primer orden, el polinomio es 1 + s.

Polinomios de Butterworth en forma de coeficientes se tabula como se indica a continuación

La función de transferencia de la enésima orden del filtro Butterworth se da de la siguiente manera

H (jω) = 1/√ {1 + ε² (ω/ωc) 2n

Donde n es el orden del filtro

ω es la frecuencia del radianes y es igual a 2πf

Y ε es la ganancia máxima de banda de paso, Amax

Butterworth low pass ejemplo de filtro

Consideremos el filtro de paso bajo Butterworth con frecuencia de corte de 15,9 kHz y con la ganancia de banda de paso 1,5 y el condensador C = 0,001μF.

fc = 1/2πRC

15.9 * 10³ = 1/{2πR1 * 0.001 * 10-6

R = 10kΩ

Amax = 1.5 y asume R1 como 10 kΩ

Amax = 1 + {Rf/R1

Rf = 5 kΩ

Filtro Butterworth de paso bajo de tercer orden

La conexión en cascada de 1. ° orden y 2. ° orden Los filtros Butterworth proporcionan el filtro Butterworth de tercer orden. El circuito de filtro Butterworth de tercer orden se muestra a continuación.

Para polinomios Butterworth de bajo paso normalizados dados para el filtro de paso bajo de tercer orden 1 + s) (1 + s + s²). Este filtro contiene tres coeficientes desconocidos y son a0 a1 a2. Los valores de coeficientes para estos son a0 = 1, a1 = 2 y a2 = 2. La planitud de la curva aumenta para este filtro Butterworth de tercer orden en comparación con el filtro de primer orden.

Aplicaciones

• Debido a su naturaleza de banda de paso plano máxima, se usa como filtro anti-aliasing en aplicaciones de conversión de datos.
• Tiene aplicaciones en radares, como en el diseño de la visualización de la trayectoria objetivo del radar.
• En aplicaciones de audio de alta calidad, estas se utilizan.
• Se usan en filtros digitales para análisis de movimiento.